М. Клайн "Утрата определенности"
1. Становление математических истин
Пифагорейцы (Пифагор Самосский) - в основу всего положили число. Свели музыку и астрономию к числу. Современная музыкальная шкала была разработана прифагорецами. Числа 1,2,3 и 4 - называли "тетрактис", его именем клялись. Их сумму - 10 - считали идеальным числом, к-е символизирует Вселенную.
Пифагорейцам не удалось сколько-нибудь существенно продвинуть ни одну из областей физики.
Преемники пифагорейцев - Левкипп (5в. до н.э.), Демокрит (4в. до н.э.) - развили атомистическое учение.
После пифагорейцев были платоники (Платон Афинский 427-347 гг. до н.э.). Платон основал в Афинах Академию, которая просуществовала 900 лет. Платоники верили в рациональность вселенной. Поздние ифагорейцы и платоники провели резкое разграничение между миром вещей и миром идей. Идеальный мир устроен на математических началах, а реальный – лишь проекция из идеального.
Аристотель был учеником Платона, но критиковал того за идею о двух различных мирах. Аристотель был настоящим физиком. Математику считал лишь абстракцией из физического мира.
Итак, математика должна заниматься прежде всего изучением таких понятий как точка, прямая и целое число. Другие понятия (треуг., квалрат, круг) можно определить через основные понятия, которые, как отметил Аристотель, должны оставаться неопределимыми.
Были введены аксиомы – истины столь очевидные, что в истинности их невозможно усомниться. Платон обосновал принятие аксиом своей теорией воспоминаний – анамнезисом. Платон считал объективно существующим мир идей. До того как человек появляется на свет, его душа обретается в мире идей и впитывает впечатления. Побуждаемая к воспоминаниям, душа затем восстанавливает накопленные ранее впечатления, чтобы признать истинность аксиом геометрии. Никакой земной опыт ей для этого не требуется.
Аристотель подошел к проблеме иначе. Истинность аксиом мы познаем посредством безошибочной интуиции. Аксиомы необходимы как основа рассуждений. Среди аксиом Аристотель разделял общие понятия и постулаты. Общие понятия истинны во всех областях мысли. «Если от равного отнять равные, то остаются равные же». Постулаты применимы к такой специфической области как геометрия. «Две точки определяют прямую и притом только одну».
Из аксиом путем рассуждений выводятся заключения. Существует много типов рассуждений, например по индукции, по аналогии и дедукции. Правильность заключения гарантирует лишь один из типов заключений.
Индукция – при измерении 100 разных треугольников получил сумму углов 180 в пределах точности. Заключаешь, что возможно все треугольники имеют сумму 180. Не абсолютно надежно.
Аналогия – «Брат Джона такой же умный как и Джон, смог закончить колледж. Значит и Джон сможет».
Дедукция – «Все люди смертны. Сократ – человек. Сократ смертен.»
Правило логики в последнем рассуждении – силлогистический вывод.
Также правила дедукции (по Аристотелю) – закон противоречия – «никакое высказывание не может быть одновременно истинным и ложным»; – закон ислюченного третьего – «любое высказывание должно быть либо истинным, либо ложным».
Начиная с Аристотеля приняли, что при дедукции если посылки истинны, то истинны и заключения. Дедукцию назначили самым надежным методом, возражал только Платон.
Евклид жил и преподавал в Александрии (300 г. До н.э.). В главном его труде – «Началах» излагаются основные свойства пространства и пространственных фигур.
Архимед (287-212 гг. До н.э. ). Добавил методы вычисления объемов и площадей сложных тел и фигур по методу, предложенному Евдоксом (390-337 гг. До н.э.) – методу исчерпывания.
Греки создали тригонометрию.
Основы были заложены Гиппархом (умер в 125 г. до н.э.). Его труд был продолжен Менелаем (98г. н.э. ), полное и авторитетное изложение астрономии дал египтяин Клавдий Птолемей (умер в 168 г. н.э.), работавший в Александрии. Его главный труд – «Альгамест» - «Большое математическое построение астрономии». Тригонометрия занимается изучением количественных соотношений между сторонами и углами треугольника. Греков интересовали главным образом треугольники на поверхности сферы со сторонами, образованными дугами больших кругов.
Греки понимали, что в сируктуре Вселенной воплощены геометрические принципы, первичным компонентом которых является пространство. Греческое слово «сфера» (шар) у пифагорейцев имело тот же смысл, что и современное слово «астрономия».
Первую теориию астрономии создал Евдокс. Евдокс не искал причины, а только математические законы. Новая теория, созданная Апполонием, Гиппархом и Птолемеем, превзошла теорию Евдокса. Труды первых двух не дошли до нашего времени. Птолемей опирался на их результаты в своей работе. В птолемеевой системе мира движение всех тел рассчитывалось относительно Земли. Земля лежала в центре. Стало возможным точно предсказывать лунные и солнечные затмения.
Как и Евдокс, Птолемей отчетливо осознавал, что его теория представляет не более чем удобное математическое описание, согласующееся с наблюдениями, и не обязательно должна отражать истинный механизм движения планет. Сам он всегда выбирал ту модель, которая была наиболее простой. Но христианский мир принял матматическую модель Птолемея за абсолютную истину.
Греки заложили также основы механики. В своей «Физике» Аристотель свел воедино все высшие достижения греческой механики. Эта теория сохранила влияние на протяжении почти 2000 лет и была после полностью вытеснена механикой Ньютона. К аристотелевской теории движения тел Архимед добавил работы по определению центров тяжести тел и теорию рычагов.
Греки также заложили основы оптики. Первое математическое достижение в этой области – априорное утверждение Эмпедокла (490 г. до н.э.) о том, что свет распространяется с конечной скоростью. Евклид написал «Оптику» и «Катоприку». Теоремой №1 был закон отражения – угол паения равен унлу отражения. Евклид установил закон падения для луча, падающего на выпуклое и вогнутое зеркала. Герон (1 в.) вывел следствие – луч света идет по кратчайшему пути. Труды Архимеда, Апполония и Диоклеса по этой теме до нас не дошли.
Также греки заложили основы многих других наук. В их числе география и гидростатика. Эратосфен из Кирены (284-192 гг. До н.э.) вычислил расстояния между многими нас. пунктами на той части Земли, которая была известна грекам и длину окружности Земли. Эратосфен в своей «Географии» также объяснил причины изменений, происходящих на поверхности Земли.
Самым обширным сочиненим по географии была «География» Птолемея в восьми книгах. Птолемей определил положение 8000 мест на поверхности Земли, указав те самые широты и долготы, которыми мы пользуемся до сих пор. Птолемей изложил методы составления карт, которыми мы сейчас пользуемся.
Александрийский музей был основан непосредственным преемником Александра Македонского в Египте – Птолемеем Сотером. В его библиотеке было 400 000 томов. Еще 300 000 были размещены ы храме Сераписа. Музей стал научным центром. Ученые не только занимались наукой, но и проводили занятия с учениками.
2. Расцвет математических истин
Созданная греками великая цивилизация распалась по нескольким причинам.
Первой было постепеное завоевывание римлянами Греции, Египта и Ближнего Востока.
Другой удар языческой культуре греков нанесло возникновение христианства. Создатели новой религии включили в нее множество греческих и восточных мифов и обычаев с очевидным намерением сделать христианство более доступным для новообращенных, но в то же время заняли непримиримую позицию по отношению к языческой науке и даже осмеивали математику, астрономию и естественные науки. Несмотря на жеские преследования со стороны римлян, христианство продолжало распространяться и достигло такого могущества, что римский император Константин Великий Миланский эдиктом 313 г. провозгласил христианство официальной религией Римской империи. Несколько позднее Феодосий (379-392гг.) запретил языческие религии и в 392 г. приказал разрушить греческие храмы.
Тысячи греческих книг были сожжены. В 47 г. до н. э. римляне подожгли египетские суда, стоявшие в Александрийской гавани. В огне пожара, охватившего город, пoгиблa знаменитая Александрийская библиотека - ценнeйшеe собрание древних рукописей.
В тот год, когда Феодосий запретил языческие религии, христиане разрушпли храм Сераписа в Александрии -- хранилище уникального собрания уцелевших греческих рукописей. Многне сочинения греческих авторов, написанные на пергаменте, были сгерты христианами, которые использовали этот пергамент для зaписи собственных текстов религиозного содержания.
3авоеваниге Египта (640 г,) сторонниками набиравшего силy ислама нанесло греческой культуpe удар, от которого она уже не cмoгла оправиться. Все рaнее уцелевшие книги были уничтожены; как гoвоpит предание, халиф Омар провозгласил: «Либо в этих книгах написано то, что есть в Коране, и тогда нам незачем пх читать, либо они утверждают то, что противоречит Корану, и тогда их не подобает читаты». Почти полгода бани Александрии отаилнвались пергаментными свитками.
Свой вклад в дальнейшее развитие математики как нaуки внесли индийцы и арабы. Некоторые идеи индийских и арабских математиков сыграли немалую роль в дальнейшем*. 3а тысячелетие (200 - 1200 гг.) индийцы (не без влияния греческих источников) получили важные результаты в области арифметики и алгебры. Арабы - созданный ими Арабский халифат в период расцвета простирался по всему побережью Средиземного моря, глубоко вторгался на 6люжний Восток и объединял разноплеменные народы, исповедовавшие ислам,- усвоили лучшие достижения греческой и инцийской математики и получили ряд новых результатов. Действуя в духе греков александрийского периода, арабы в своих трудах опирались и на индуктивные рассуждения, и на эксперимент. Арабские ученые сказали свое слово в алгебре, географии, астрономии и оптике. 3аботясь о передаче знаний грядущим поколениям, арабы созцавали школы и даже высшие учебные заведения. К чести арабов следует заметить, что, будучи ревностными приверженцами своей религии, они тем не менее считали недопустимым ограничивать религиозными догмами математические и естеетвеннонаучные исследования.
Хогя индийцы и арабы основывали свои исследования на прочном фундаменте, воздвигнутом греками, и внесли свой вклад в цальнейшее развитие эллинской математики и естествознания, они не смогли в такой гиере, как rреки, дроникнуться пониманием структуры Вселенной. Арабы псреводили труды греческих учеиых и составляли к ним обширные комментарии, в том числе и критические, но их достижения не пополнили сокровищницу знаний., накопленных их предшественниками, сколько-нибудь существенно. К 1500 г. Ара6ский Халифат распался, теснимый христианами на 3ападе и раздираемый междоусобицами на Востоке.